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中考数学145分+必备几何辅助线技巧

日期:2019-06-12 10:13 点击:

辅助线对于同学们来说都不陌生,解几何题的时候经常用到。当题目给出的条件不够时,我们通过添加辅助线构成新图形,形成新关系,使分散的条件集中,建立已知与未知的桥梁,把问题转化为自己能解决的问题,这便是辅助线的作用。

 

毫不夸张的说,许多几何大题,找准了辅助线,分基本就拿稳了~

 

几何常见辅助线口诀

角形

图中有角平分线,可向两边作垂线。也可将图对折看,对称以后关系现。

角平分线平行线,等腰三角形来添。角平分线加垂线,三线合一试试看。

线段垂直平分线,常向两端把线连。线段和差及倍半,延长缩短可试验。

线段和差不等式,移到同一三角去。三角形中两中点,连接则成中位线。

三角形中有中线,倍长中线得全等。

边形

平行四边形出现,对称中心等分点。梯形问题巧转换,变为三角或平四。

平移腰,移对角,两腰延长作出高。如果出现腰中点,细心连上中位线。

上述方法不奏效,过腰中点全等造。证相似,比线段,添线平行成习惯。

等积式子比例换,寻找线段很关键。直接证明有困难,等量代换少麻烦。

斜边上面作高线,比例中项一大片。

半径与弦长计算,弦心距来中间站。圆上若有一切线,切点圆心半径联。

切线长度的计算,勾股定理最方便。要想证明是切线,半径垂线仔细辨。

是直径,成半圆,想成直角径连弦。弧有中点圆心连,垂径定理要记全。

圆周角边两条弦,直径和弦端点连。弦切角边切线弦,同弧对角等找完。

要想作个外接圆,各边作出中垂线。还要作个内接圆,内角平分线梦圆。

如果遇到相交圆,不要忘作公共弦。内外相切的两圆,经过切点公切线。

若是添上连心线,切点肯定在上面。要作等角添个圆,证明题目少困难。

 

由角平分线想到的辅助线

一、截取构全等

如图,AB//CD,BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,点E在AD上,求证:BC=AB+CD。

分析:在此题中可在长线段BC上截取BF=AB,再证明CF=CD,从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自已证明。此题的证明也可以延长BE与CD的延长线交于一点来证明。自已试一试。

 

 

二、角分线上点向两边作垂线构全等

如图,已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。求证:∠ADC+∠B=180

分析:可由C向∠BAD的两边作垂线。近而证∠ADC与∠B之和为平角。

 

 

三、三线合一构造等腰三角形

如图,AB=AC,∠BAC=90 ,BD为∠ABC的平分线,CE⊥BE.求证:BD=2CE。

分析:延长此垂线与另外一边相交,得到等腰三角形,随后全等。

 

 

四、角平分线+平行线

如图,AB>AC, ∠1=∠2,求证:AB-AC>BD-CD。

分析:AB上取E使AC=AE,通过全等和组成三角形边边边的关系可证。

 

由线段和差想到的辅助线

截长补短法

AC平分∠BAD,CE⊥AB,且∠B+∠D=180°,求证:AE=AD+BE。

分析:过C点作AD垂线,得到全等即可。

 

由中点想到的辅助线

一、中线把三角形面积等分

如图,ΔABC中,AD是中线,延长AD到E,使DE=AD,DF是ΔDCE的中线。已知ΔABC的面积为2,求:ΔCDF的面积。

分析:利用中线分等底和同高得面积关系。

 

 

二、中点联中点得中位线

如图,在四边形ABCD中,AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点,BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、H。求证:∠BGE=∠CHE。

分析:联BD取中点联接联接,通过中位线得平行传递角度。

 

 

三、倍长中线

如图,已知ΔABC中,AB=5,AC=3,连BC上的中线AD=2,求BC的长。

分析:倍长中线得到全等易得。

 

 

四、RTΔ斜边中线

如图,已知梯形ABCD中,AB//DC,AC⊥BC,AD⊥BD,求证:AC=BD。

分析:取AB中点得RTΔ斜边中线得到等量关系

 

由全等三角形想到的辅助线

一、倍长过中点得线段

已知,如图△ABC中,AB=5,AC=3,则中线AD的取值范围是。

分析:利用倍长中线做。

 

 

二、截长补短

如图,在四边形ABCD中,BC>BA,AD=CD,BD平分 ,求证:∠A+∠C=180

分析:在角上截取相同的线段得到全等。

 

 

三、平移变换

如图,在△ABC的边上取两点D、E,且BD=CE,求证:AB+AC>AD+AE

分析:△ACE平移使EC与BD重合

 

 

四、旋转

正方形ABCD中,E为BC上的一点,F为CD上的一点,BE+DF=EF,求∠EAF的度数

分析:△ADF旋转使AD与AB重合。全等得证

 

由梯形想到的辅助线

一、平移一腰

所示,在直角梯形ABCD中,∠A=90°,AB∥DC,AD=15,AB=16,BC=17. 求CD的长。

分析:利用平移一腰把梯形分割成三角形和平行四边形

 

 

二、平移两腰

如图,在梯形ABCD中,AD//BC,∠B+∠C=90°,AD=1,BC=3,E、F分别是AD、BC的中点,连接EF,求EF的长。

分析:利用平移两腰把梯形底角放在一个三角形内。

 

 

三、平移对角线

已知:梯形ABCD中,AD//BC,AD=1,BC=4,BD=3,AC=4,求梯形ABCD的面积。

分析:通过平移梯形一对角线构造直角三角形求解。

 

 

四、作双高

在梯形ABCD中,AD为上底,AB>CD,求证:BD>AC。

分析:作梯形双高利用勾股定理和三角形边边边的关系可得

 

 

五、作中位线

(1)如图,在梯形ABCD中,AD//BC,E、F分别是BD、AC的中点,求证:EF//AD

分析:联DF并延长,利用全等即得中位线

 

(2)在梯形ABCD中,AD∥BC, ∠BAD=90°,E是DC上的中点,连接AE和BE,求∠AEB=2∠CBE。

分析:在梯形中出现一腰上的中点时,过这点构造出两个全等的三角形达到解题的目的

 

由圆想到的辅助线

一、遇到弦时(解决有关弦的问题时) 

常常添加弦心距,或者作垂直于弦的半径(或直径)或再连结过弦的端点的半径。  

作用: 

(1) 利用垂径定理   

(2)利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系       

(3)利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形,根据勾股定理求有关量 

 

二、遇到有直径时常常添加(画)直径所对的圆周角

作用:利用圆周角的性质得到直角或直角三角形   

 

三、遇到90度的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点   

作用:利用圆周角的性质,可得到直径   

 

四、遇到弦时常常连结圆心和弦的两个端点,构成等腰三角形,还可连结圆周上一点和弦的两个端点  

作用: (1)可得等腰三角形

          (2)据圆周角的性质可得相等的圆周角  

 

五、遇到有切线时

常常添加过切点的半径(连结圆心和切点)  

作用:利用切线的性质定理可得OA⊥AB,得到直角或直角三角形

常常添加连结圆上一点和切点    

作用:可构成弦切角,从而利用弦切角定理。 

 

六、遇到证明某一直线是圆的切线时

(1) 若直线和圆的公共点还未确定,则常过圆心作直线的垂线段。 

         作用:若OA=r,则l为切线   

(2) 若直线过圆上的某一点,则连结这点和圆心(即作半径)  

         作用:只需证OA⊥l,则l为切线  

(3) 有遇到圆上或圆外一点作圆的切线

 

七、遇到两相交切线时(切线长)

常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点    

作用:据切线长及其它性质,可得到    

(1)角、线段的等量关系  

(2) 垂直关系  

(3) 全等、相似三角形  

 

八、遇到三角形的内切圆时  

连结内心到各三角形顶点,或过内心作三角形各边的垂线段    

作用:利用内心的性质,可得   

(1) 内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线

(2)内心到三角形三条边的距离相等   

 

九、遇到三角形的外接圆时,连结外心和各顶点 

作用:外心到三角形各顶点的距离相等   

 

十、遇到两圆外离时(解决有关两圆的外、内公切线的问题)

常常作出过切点的半径、连心线、平移公切线,或平移连心线  

作用:(1)利用切线的性质; 

          (2)利用解直角三角形的有关知识   

 

十一、 遇到两圆相交时  

常常作公共弦、两圆连心线、连结交点和圆心等

作用:(1) 利用连心线的性质、解直角三角形有关知识       

          (2)  利用圆内接四边形的性质        

          (3)利用两圆公共的圆周的性质         

          (4) 垂径定理   

 

十二、遇到两圆相切时 

常常作连心线、公切线   

作用:(1) 利用连心线性质

          (2)切线性质等   

 

13. 遇到三个圆两两外切时

常常作每两个圆的连心线  

作用:可利用连心线性质

   

14. 遇到四边形对角互补或两个三角形同底并在底的同向且有相等“顶角”时  

常常添加辅助圆

作用:以便利用圆的性质

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