中考数学二次函数商品利润最大问题整理

1．经历数学建模的基本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系。

2．会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值。

3．能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题。

一、情境导入

红光旅社有100张床位，每床每日收费10元，客床可全部租出，若每床每日收费提高2元，则租出床位减少10张，若每床每日收费再提高2元，则租出床位再减少10张，以每提高2元的这种方式变化下去，每床每日应提高多少元，才能使旅社获得最大利润？

二、合作探究

探究点一：最大利润问题

【类型一】利用解析式确定获利最大的条件

为了推进知识和技术创新、节能降耗，使我国的经济能够保持可持续发展．某工厂经过技术攻关后，产品质量不断提高，该产品按质量分为10个档次，生产第一档次(即最低档)的新产品一天生产76件，每件利润10元，每提高一个档次，每件可节约能源消耗2元，但一天产量减少4件．生产该产品的档次越高，每件产品节约的能源就越多，是否获得的利润就越大？请你为该工厂的生产提出建议．

解析：在这个工业生产的实际问题中，随着生产产品档次的变化，所获利润也在不断的变化，于是可建立函数模型；找出题中的数量关系：一天的总利润＝一天生产的产品件数×每件产品的利润；其中，“每件可节约能源消耗2元”的意思是利润增加2元；利用二次函数确定最大利润，再据此提出自己认为合理的建议．

解：设该厂生产第x档的产品一天的总利润为y元，则有y＝[10＋2(x－1)][76－4(x－1)]＝－8x²＋128x＋640＝－8(x－8)²＋1152.当x＝8时，y_最大值＝1152.由此可见，并不是生产该产品的档次越高，获得的利润就越大．建议：若想获得最大利润，应生产第8档次的产品．(其他建议，只要合理即可)

【类型二】利用图象解析式确定最大利润

某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y₁(元)与销售时间第x月之间存在如图①所示(一条线段)的变化趋势，每千克成本y₂(元)与销售时间第x月满足函数关系式y₂＝mx²－8mx＋n，其变化趋势如图②所示．

(1)求y₂的解析式；

(2)第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？最大利润是多少？

解：(1)由题意可得，函数y₂的图象经过两点(3，6)，(7，7)

∴

(2)设y₁＝kx＋b，∵函数y₁的图象过两点(4，11)，(8，10)

∴8k＋b＝10，4k＋b＝11，解得

∴y₁的解析式为

设这种水果每千克所获得的利润为w元．

则w＝y₁－y₂＝

∴w＝

∴当x＝3时，w取最大值

∴第3月销售这种水果，每千克所获的利润最大，最大利润是